“举一反三”的核心在于：掌握一类问题的通用解法和思想，然后能够灵活运用这些思想去解决看似不同但本质相同的新问题。
下面我将按照奥数常见的几大模块,为每个模块提炼核心思想、经典例题和“举一反三”的变式练习。
分数、百分数应用题
这是六年级奥数的绝对重点和难点,它将小学阶段的整数、小数、分数知识融会贯通，考验的是对数量关系的深刻理解。
核心思想：
- 单位“1”的统一：在复杂的分数问题中，找准并统一单位“1”是解题的第一步，有时需要通过“转化”或“假设”来找到不变量作为单位“1”。
- 量率对应：分数（分率）和它所代表的具体数量（量）必须对应，找到关键的分率对应的量，是建立方程或算术关系的基础。
- 方程思想：对于关系复杂的问题，设未知数、列方程往往比纯算术方法更直观、更不容易出错。
经典例题一：工程问题（量率对应与单位“1”）
** 一项工程，甲队单独做需要10天完成，乙队单独做需要15天完成，现在两队合作，中途甲队离开了2天，结果整个工程用了8天完成，问：甲队实际工作了多少天？
解题思路（举一）：
- 确定单位“1”：把整个工程的工作量看作单位“1”。
- 求效率：
- 甲队的工作效率（每天完成的工作量）：$1 \div 10 = \frac{1}{10}$
- 乙队的工作效率：$1 \div 15 = \frac{1}{15}$
- 分析合作情况：工程总共用了8天，在这8天里，乙队一直在工作，而甲队离开了2天，说明甲队工作了 $8 - 2 = 6$ 天。
- 计算总工作量：
- 甲队完成的工作量：$6 \times \frac{1}{10} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$
- 乙队完成的工作量：$8 \times \frac{1}{15} = \frac{8}{15}$
- 两人一共完成的工作量：$\frac{3}{5} + \frac{8}{15} = \frac{9}{15} + \frac{8}{15} = \frac{17}{15}$
- 发现问题：$\frac{17}{15} > 1$，这与“整个工程”是单位“1”矛盾，说明我的“举一”思路错了。
正确的解题思路（真正的“举一”）：
- 设未知数，列方程：设甲队工作了 $x$ 天。
- 根据工作时间表示工作量：
- 甲队工作了 $x$ 天，完成的工作量是 $\frac{1}{10}x$。
- 乙队工作了8天（因为工程总共用了8天），完成的工作量是 $\frac{1}{15} \times 8 = \frac{8}{15}$。
- 根据总工作量等于1列方程： $\frac{1}{10}x + \frac{8}{15} = 1$
- 解方程：
- 通分：$\frac{3}{30}x + \frac{16}{30} = \frac{30}{30}$
- 移项：$\frac{3}{30}x = \frac{30}{30} - \frac{16}{30} = \frac{14}{30}$
- 解得：$x = \frac{14}{30} \div \frac{3}{30} = \frac{14}{3} \approx 4.\overline{6}$ 天
答案： 甲队实际工作了 $\frac{14}{3}$ 天（或4天16小时）。
举一反三（变式练习）
变式1（基础）： 一项工程，甲队单独做需要12天，乙队单独做需要15天，两队合作，几天可以完成全部工程？
- 考察点：最基础的工程问题合作效率，核心是“效率相加”。
- 解法：合作效率为 $\frac{1}{12} + \frac{1}{15} = \frac{9}{60} = \frac{3}{20}$，所需时间 $= 1 \div \frac{3}{20} = \frac{20}{3}$ 天。
变式2（进阶）： 一个水池，单开甲管需要20小时注满，单开乙管需要30小时排空，如果两管同时打开，多少小时可以把空池注满？
- 考察点：工程问题的变种，有进有出，核心是“效率相加（或相减）”。
- 解法：甲管效率为 $+\frac{1}{20}$（进水），乙管效率为 $-\frac{1}{30}$（出水），总效率为 $\frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{1}{60}$，所需时间 $= 1 \div \frac{1}{60} = 60$ 小时。
变式3（拔高）： 师徒二人合作加工一批零件，师傅单独做需要4小时，徒弟单独做需要6小时，先由徒弟做了1小时，然后师徒二人合作，完成这批零件共用了多少时间？
- 考察点：分段工程问题，核心是“先分后合”。
- 解法：
- 徒弟1小时完成的工作量：$1 \times \frac{1}{6} = \frac{1}{6}$。
- 剩余的工作量：$1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$。
- 师徒合作效率：$\frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{5}{12}$。
- 完成剩余工作所需时间：$\frac{5}{6} \div \frac{5}{12} = 2$ 小时。
- 总时间：$1 + 2 = 3$ 小时。
比和比例应用题
比和比例是解决复杂分数问题、行程问题、浓度问题等的有力工具，体现了数学中的模型思想。
核心思想：
- 份数思想：将比看作份数，可以快速分配总量，避免分数运算。
- 正反比例：判断两种相关联的量是成正比例还是反比例，是解决复杂应用题的关键，抓住“比值一定”（正比）或“乘积一定”（反比）。
- 比例统一：在涉及多个比例的复杂问题中，需要将不同标准（单位“1”）的比例，统一到同一个标准上来。
经典例题二：比例分配与统一
** 甲、乙两个仓库共存粮280吨，如果从甲仓库运出 $\frac{1}{4}$，从乙仓库运出 $\frac{1}{3}$，那么两个仓库剩下的粮食一样多，问：原来甲、乙两个仓库各存粮多少吨？
解题思路（举一）：
- 分析“剩下的一样多”：设甲仓库原有粮食 $x$ 吨，乙仓库原有 $y$ 吨。
- 根据题意列方程：
- 甲仓库剩下：$x - \frac{1}{4}x = \frac{3}{4}x$
- 乙仓库剩下：$y - \frac{1}{3}y = \frac{2}{3}y$
- 根据题意,$\frac{3}{4}x = \frac{2}{3}y$
- 利用比例关系求解：
- 由 $\frac{3}{4}x = \frac{2}{3}y$，可以得到 $9x = 8y$（交叉相乘），即 $x : y = 8 : 9$。
- 这说明,甲、乙两仓库存粮的比是8:9。
- 按比例分配总量：
- 总份数：$8 + 9 = 17$ 份。
- 甲仓库存粮：$280 \times \frac{8}{17} = \frac{2240}{17} \approx 131.76$ 吨。
- 乙仓库存粮：$280 \times \frac{9}{17} = \frac{2520}{17} \approx 148.24$ 吨。
答案： 甲仓库原有 $\frac{2240}{17}$ 吨，乙仓库原有 $\frac{2520}{17}$ 吨。
举一反三（变式练习）
变式1（基础）： 一个长方形周长是40厘米，长与宽的比是3:2，求这个长方形的面积。
- 考察点：基本的比例分配。
- 解法：长+宽=20厘米，总份数3+2=5份，每份4厘米，长=12厘米，宽=8厘米，面积=$12 \times 8 = 96$ 平方厘米。
变式2（进阶）： 一批零件，甲、乙、丙三人加工的比是3:4:5，如果甲比丙少加工16个，这批零件一共有多少个？
- 考察点：比例与差量关系。
- 解法：甲、丙份数差为 $5-3=2$ 份，这2份对应16个，所以1份是8个，总份数 $3+4+5=12$ 份，总零件数 $= 12 \times 8 = 96$ 个。
变式3（拔高）： 哥哥和弟弟的零花钱一样多，哥哥花了自己钱的75%，弟弟花了自己钱的 $\frac{1}{3}$，这时哥哥剩下的钱是弟弟的3倍，他们原来各有多少零花钱？
- 考察点：比例与单位“1”的灵活运用。
- 解法：
- 设原来各有 $x$ 元。
- 哥哥剩下：$x \times (1-75\%) = 0.25x$
- 弟弟剩下：$x \times (1-\frac{1}{3}) = \frac{2}{3}x$
- 根据题意：$0.25x = 3 \times \frac{2}{3}x$ -> $0.25x = 2x$，这显然不对。
- 重新审题：“哥哥剩下的钱是弟弟的3倍”，应该是 $0.25x = 3 \times (\text{弟弟剩下的钱})$。
- 设弟弟剩下 $y$ 元，则 $0.25x = 3y$。
- 弟弟剩下的是 $\frac{2}{3}x$，$y = \frac{2}{3}x$。
- 代入得：$0.25x = 3 \times \frac{2}{3}x$ -> $0.25x = 2x$，还是不对。
- 发现问题：题目描述可能有歧义，或者我理解错了，应该是“哥哥剩下的钱比弟弟多3倍”或“是弟弟的4倍”，如果按“是弟弟的3倍”理解，则无解，我们换一种思路，用份数。
- 份数法：设哥哥和弟弟各有12份钱（为了方便计算）。
- 哥哥花掉75%，剩下 $12 \times 25\% = 3$ 份。
- 弟弟花掉 $\frac{1}{3}$，剩下 $12 \times \frac{2}{3} = 8$ 份。
- 此时哥哥剩下的3份是弟弟剩下的8份的3倍吗？不是，题目条件矛盾。
- 修正题目：如果题目是“哥哥花了自己钱的75%，弟弟花了自己钱的 $\frac{1}{3}$，这时哥哥剩下的钱比弟弟多3倍”，
- 哥哥剩下3份,弟弟剩下8份。
- 哥哥比弟弟少：$8-3=5$ 份。
- 这5份是弟弟剩下的8份的3倍吗？不是。
- 正确的经典模型：通常这类题目的解法是：设哥哥剩下 $1-75\% = 25\%$，弟弟剩下 $1-\frac{1}{3} = \frac{2}{3}$，根据“哥哥剩下的是弟弟的3倍”，有 $25\% \times \text{原钱} = 3 \times \frac{2}{3} \times \text{原钱}$，这显然不成立。
- 这个变式题目本身存在逻辑问题,无法用常规方法求解，这提醒我们，在“举一反三”时，要确保题目本身的严谨性，我们换一个经典模型：
- 修正后的变式3： 哥哥和弟弟的零花钱一样多，哥哥花了自己钱的 $\frac{1}{4}$，弟弟花了自己钱的 $\frac{1}{3}$，这时哥哥剩下的钱是弟弟的2倍，他们原来各有多少零花钱？
- 解法：设原有 $x$ 元，哥哥剩下 $\frac{3}{4}x$，弟弟剩下 $\frac{2}{3}x$，根据题意：$\frac{3}{4}x = 2 \times \frac{2}{3}x$ -> $\frac{3}{4}x = \frac{4}{3}x$，依然不成立。
- 最终经典模型：哥哥和弟弟共有零花钱300元，哥哥花了自己钱的75%，弟弟花了自己钱的 $\frac{1}{3}$，这时两人剩下的钱一样多，他们原来各有多少零花钱？
- 解法：设哥哥原有 $x$ 元，弟弟原有 $300-x$ 元，哥哥剩下 $0.25x$，弟弟剩下 $\frac{2}{3}(300-x)$，根据题意：$0.25x = \frac{2}{3}(300-x)$，解得 $x=160$，所以哥哥160元，弟弟140元，这才是经典模型。
行程问题
行程问题是奥数中综合性最强、变化最丰富的模块，涉及速度、时间、路程三者关系，以及相遇、追及、流水行船等多个模型。
核心思想：
- 基本关系：路程 = 速度 × 时间。
- 模型化思想：将复杂的行程问题抽象为“相遇模型”、“追及模型”、“环形跑道模型”、“流水行船模型”等。
- 比例思想：在路程一定时，速度和时间成反比；在时间一定时，路程和速度成正比。
经典例题三：环形跑道问题
** 在一个400米的环形跑道上，甲、乙两人同时同地同向出发，甲每秒跑5米，乙每秒跑4.5米，问：甲第一次追上乙时，两人各跑了多少米？
解题思路（举一）：
- 判断模型：同地同向出发，是典型的“追及问题”。
- 分析追及路程：因为是环形跑道，甲要追上乙，意味着甲要比乙多跑整整一圈，即追及路程是400米。
- 计算追及速度（速度差）：$5 - 4.5 = 0.5$ 米/秒。
- 计算追及时间：时间 = 追及路程 ÷ 速度差 = $400 \div 0.5 = 800$ 秒。
- 计算各自跑的路程：
- 甲跑的路程：$5 \times 800 = 4000$ 米。
- 乙跑的路程：$4.5 \times 800 = 3600$ 米。
答案： 甲跑了4000米，乙跑了3600米。
举一反三（变式练习）
变式1（基础）： 甲、乙两地相距420千米，一辆汽车从甲地开往乙地，速度为60千米/小时，另一辆汽车同时从乙地开往甲地，速度为80千米/小时，几小时后两车相遇？
- 考察点：基本相遇问题，核心是“路程和 ÷ 速度和 = 相遇时间”。
- 解法：速度和 $= 60 + 80 = 140$ 千米/小时，相遇时间 $= 420 \div 140 = 3$ 小时。
变式2（进阶）： 甲、乙两人在一条长100米的直路上来回跑步，甲的速度是3米/秒，乙的速度是2米/秒，如果他们同时从一端出发，出发后1分钟内，两人一共相遇了多少次？
- 考察点：多次相遇问题，核心是“路程和 ÷ 2倍的单程长度 = 相遇次数”。
- 解法：
- 1分钟=60秒。
- 两人跑的总路程：$(3+2) \times 60 = 300$ 米。
- 在直线上,每合起来跑 $2 \times 100 = 200$ 米，就会相遇两次（一次相向，一次同向追上）。
- 300米里包含 $300 \div 200 = 1.5$ 个这样的周期。
- 所以相遇次数为 $2 \times 1.5 = 3$ 次。（注意：最后一次可能没跑完，但这里正好是整数周期）。
变式3（拔高）： 一艘船在静水中的速度是每小时15千米，水流速度是每小时3千米，这艘船从上游甲港到下游乙港，再从乙港返回甲港，一共用了10小时，求甲、乙两港的距离。
- 考察点：流水行船问题，核心是“顺水速度=船速+水速，逆水速度=船速-水速”。
- 解法：
- 顺水速度：$15 + 3 = 18$ 千米/小时。
- 逆水速度：$15 - 3 = 12$ 千米/小时。
- 设甲、乙两港距离为 $x$ 千米。
- 去的时间：$x \div 18$。
- 回的时间：$x \div 12$。
- 根据总时间列方程：$\frac{x}{18} + \frac{x}{12} = 10$。
- 通分：$\frac{2x}{36} + \frac{3x}{36} = 10$ -> $\frac{5x}{36} = 10$。
- 解得：$x = 10 \times \frac{36}{5} = 72$ 千米。
总结与建议
- 夯实基础：六年级奥数建立在扎实的小学知识之上，确保对分数、百分数、比、比例、行程等基础概念的理解没有漏洞。
- 提炼模型：不要满足于做对一道题，要思考这道题属于哪个“模型”（如工程问题、相遇问题、比例问题等），模型是“举一反三”的“一”。
- 一题多解：尝试用不同的方法解决同一道题（如算术法、方程法），这能加深对知识点的理解，找到最优解法。
- 多题归一：做完几道看似不同的题后，要回头总结它们的共同点，它们是不是都用了“份数思想”？是不是都是“追及模型”？这是“举一反三”的“反”。
- 错题本：准备一个错题本，记录错题和好题，不仅要写正确答案，更要写下当时错误的思路和正确的思路分析，定期回顾。
- 保持兴趣：奥数是思维的体操，不要为了刷题而刷题，享受思考的乐趣，遇到难题多琢磨，实在想不通再求助，这个过程本身就是宝贵的财富。
希望这份详细的梳理和练习能帮助您的孩子在“举一反三”的道路上走得更稳、更远！
